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Vorwort
5
Vorwort der ersten Auflage
6
Inhalt
9
Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel
17
1.1 Die Summationskonvention
17
1.2 N-tupel
21
1.2.1 Definitionen
21
1.2.2 Rechenoperationen
22
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit
22
1.3 Determinanten
23
1.3.1 Definitionen
24
1.3.2 Berechnung von Determinanten
25
1.3.3 Rechnen mit Determinanten
27
1.4 Kronecker-Symbole
28
1.4.1 dij
28
1.4.2 d
30
1.4.3 ei...
31
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei...
34
1.4.5 ei
39
1.5 Matrizen
40
1.5.1 Definitionen
40
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen
42
1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen
47
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen
47
1.5.5 Orthogonale Matrizen
49
1.6 Algorithmen
50
1.6.1 Berechnung einer Determinante
50
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)
51
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante
52
Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten
53
2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren
53
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten
53
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme
54
2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten
55
2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren
57
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten
57
2.2 Vektoren
58
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten
58
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten
59
2.3 Tensoren
63
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe
63
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe
67
2.3.3 Symmetrien in der Physik
69
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise
70
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit
71
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren
73
2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren
75
2.7.1 Definition
75
2.7.2 Eigenschaften
76
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten
80
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen
81
2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren
82
2.8.1 Der d-Tensor
82
2.8.2 Der e-Tensor
82
2.8.3 Isotrope Tensoren
84
2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren
84
2.9.1 Definition
84
2.9.2 Eigenschaften
85
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur
91
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte
92
2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren
94
2.10.1 Definition
94
2.10.2 Eigenschaften
98
2.10.3 Das Spatprodukt
99
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen
100
2.12 Differentialoperationen
101
2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis
102
2.12.2 Der Gradient
102
2.12.3 Das (vollständige) Differential
105
2.12.4 Die Divergenz
107
2.12.5 Die Rotation
109
2.12.6 Der Laplace-Operator
111
2.13 Indexbilanz und Strichbilanz
112
2.14 Integrale von Tensorfeldern
112
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten
113
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements
115
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten
118
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten
122
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe
123
2.15 Gaußscher und stokesscher Satz
125
2.15.1 Der gaußsche Satz
125
2.15.2 Der stokessche Satz
129
Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe
135
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors
135
3.2 Die Determinante eines Tensors
137
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors
138
3.4 Der Kotensor eines Tensors
139
3.5 Der Rang eines Tensors
140
3.6 Der inverse Tensor
140
3.7 Orthogonale Tensoren
142
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion
143
3.8.1 Rang 3
144
3.8.2 Rang 2
145
3.8.3 Rang 1
147
3.8.4 Rang 0
148
3.9 Reziproke Basen
148
3.9.1 Definition
148
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen
149
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen
150
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene
151
3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren
152
3.10.1 Rang 3
152
3.10.2 Rang 2
155
3.10.3 Rang 1
156
3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung
158
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen
158
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten
159
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte
161
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren
164
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen
170
3.12 Symmetrische Tensoren
174
3.12.1 Die Hauptachsentransformation
174
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors
178
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors
179
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen
180
3.13 Orthogonale polare Tensoren
184
3.13.1 Die Drehung in der Ebene
184
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung
184
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel
188
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation
193
3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung
194
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
194
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten
196
3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung
198
3.15 Grundinvarianten
199
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors
201
Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten
207
4.1 Krummlinige Koordinaten
207
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme
207
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien
209
4.1.3 Holonome Basen
210
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme
213
4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme
215
4.2 Holonome Tensorkoordinaten
215
4.2.1 Allgemeines
215
4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen
218
4.2.3 Die Summationskonvention
221
4.2.4 Der d-Tensor
222
4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes
226
4.2.6 Der e-Tensor
227
4.2.7 Isotrope Tensoren
231
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten
231
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten
237
4.4 Differentialoperationen
239
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors
240
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole
241
4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten
242
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten
243
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten
245
4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter
247
4.4.7 Der Gradient
247
4.4.8 Divergenz und Rotation
249
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen
250
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator
253
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern
255
Kapitel 5: Darstellungstheorie
261
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie
261
5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung
263
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe
265
5.3.1 Invarianten von Vektoren
266
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe
267
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren
273
5.3.4 Zusammenfassung
277
5.4 Isotrope Tensorfunktionen
278
5.4.1 Invarianzbedingungen
278
5.4.2 Skalarwertige Funktionen
280
5.4.3 Vektorwertige Funktionen
280
5.4.4 Tensorwertige Funktionen
283
5.4.5 Zusammenfassung
286
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien
287
Kapitel 6: Der Vektorraum
293
6.1 Einfache algebraische Systeme
293
6.1.1 Die Halbgruppe
293
6.1.2 Die Gruppe
295
6.1.3 Der Ring
298
6.1.4 Der Körper
300
6.2 Der (affine) Vektorraum
302
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion
302
6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit
306
6.2.3 Basis und Dimension
306
6.2.4 Koordinaten
310
6.2.5 Transformationsgleichungen
311
6.3 Abbildungen
312
6.3.1 Allgemeine Abbildungen
312
6.3.2 Lineare Abbildungen
313
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung
320
6.4 Dualität
321
6.4.1 Der Dualraum
321
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation
322
6.4.3 Duale Basen
324
6.4.4 Transformationsgleichungen
325
6.5 Der (affine) Tensorraum
327
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation
327
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren
328
6.5.3 Transformationsgleichungen
329
6.6 Der euklidische Vektorraum
331
6.6.1 Die skalare Multiplikation
331
6.6.2 Die Metrik
333
6.6.3 Dualität
336
6.7 Der Punktraum
339
6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum
339
6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum
341
Literatur
343
Anhang A: Lösungen der Aufgaben
345
Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten
407
Sachwortregister
423
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