Tensoranalysis

Vorwort

Vorwort der ersten Auflage

Inhalt

Kapitel 1: Algebraische Hilfsmittel

1.1 Die Summationskonvention

1.2 N-tupel

1.2.1 Definitionen

1.2.2 Rechenoperationen

1.2.3 Lineare Unabhängigkeit

1.3 Determinanten

1.3.1 Definitionen

1.3.2 Berechnung von Determinanten

1.3.3 Rechnen mit Determinanten

1.4 Kronecker-Symbole

1.4.1 dij

1.4.2 d

1.4.3 ei...

1.4.4 Darstellung einer Determinante mit ei...

1.4.5 ei

1.5 Matrizen

1.5.1 Definitionen

1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen

1.5.3 Gleichungen zwischen Matrizen und Gleichungen zwischen Matrixelementen

1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen

1.5.5 Orthogonale Matrizen

1.6 Algorithmen

1.6.1 Berechnung einer Determinante

1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)

1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante

Kapitel 2: Tensoranalysis in symbolischer Schreibweise und in kartesischen Koordinaten

2.1 Kartesische Koordinaten, Punkte, Ortsvektoren

2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten

2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme

2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten

2.1.4 Das Transformationsgesetz für Basisvektoren

2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten

2.2 Vektoren

2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten

2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten

2.3 Tensoren

2.3.1 Tensoren zweiter Stufe

2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe

2.3.3 Symmetrien in der Physik

2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise

2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit

2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren

2.7 Die tensorielle Multiplikation von Tensoren

2.7.1 Definition

2.7.2 Eigenschaften

2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten

2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen

2.8 d-Tensor, e-Tensor, isotrope Tensoren

2.8.1 Der d-Tensor

2.8.2 Der e-Tensor

2.8.3 Isotrope Tensoren

2.9 Die skalare Multiplikation von Tensoren

2.9.1 Definition

2.9.2 Eigenschaften

2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur

2.9.4 Mehrfache skalare Produkte

2.10 Die vektorielle Multiplikation von Tensoren

2.10.1 Definition

2.10.2 Eigenschaften

2.10.3 Das Spatprodukt

2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen

2.12 Differentialoperationen

2.12.1 Der Fundamentalsatz der Tensoranalysis

2.12.2 Der Gradient

2.12.3 Das (vollständige) Differential

2.12.4 Die Divergenz

2.12.5 Die Rotation

2.12.6 Der Laplace-Operator

2.13 Indexbilanz und Strichbilanz

2.14 Integrale von Tensorfeldern

2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten

2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements

2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten

2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten

2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe

2.15 Gaußscher und stokesscher Satz

2.15.1 Der gaußsche Satz

2.15.2 Der stokessche Satz

Kapitel 3: Algebra von Tensoren zweiter Stufe

3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors

3.2 Die Determinante eines Tensors

3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors

3.4 Der Kotensor eines Tensors

3.5 Der Rang eines Tensors

3.6 Der inverse Tensor

3.7 Orthogonale Tensoren

3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion

3.8.1 Rang 3

3.8.2 Rang 2

3.8.3 Rang 1

3.8.4 Rang 0

3.9 Reziproke Basen

3.9.1 Definition

3.9.2 Orthogonalitätsrelationen

3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen

3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene

3.10 Darstellung eines Tensors durch Vektoren

3.10.1 Rang 3

3.10.2 Rang 2

3.10.3 Rang 1

3.11 Eigenwerte und Eigenrichtungen. Die charakteristische Gleichung

3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen

3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten

3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte

3.11.4 Sätze über Eigenvektoren

3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen

3.12 Symmetrische Tensoren

3.12.1 Die Hauptachsentransformation

3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors

3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors

3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen

3.13 Orthogonale polare Tensoren

3.13.1 Die Drehung in der Ebene

3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung

3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel

3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation

3.14 Potenzen von Tensoren. Die Cayley-Hamilton-Gleichung

3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten

3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung

3.15 Grundinvarianten

3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors

Kapitel 4: Tensoranalysis in krummlinigen Koordinaten

4.1 Krummlinige Koordinaten

4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme

4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien

4.1.3 Holonome Basen

4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme

4.1.5 Orthogonale Koordinatensysteme

4.2 Holonome Tensorkoordinaten

4.2.1 Allgemeines

4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen

4.2.3 Die Summationskonvention

4.2.4 Der d-Tensor

4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes

4.2.6 Der e-Tensor

4.2.7 Isotrope Tensoren

4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten

4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten

4.4 Differentialoperationen

4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors

4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen Basen, Christoffel-Symbole

4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten

4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten

4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten

4.4.6 Ableitungen nach einem Parameter

4.4.7 Der Gradient

4.4.8 Divergenz und Rotation

4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen

4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator

4.4.11 Integrale von Tensorfeldern

Kapitel 5: Darstellungstheorie

5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie

5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung

5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe

5.3.1 Invarianten von Vektoren

5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe

5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren

5.3.4 Zusammenfassung

5.4 Isotrope Tensorfunktionen

5.4.1 Invarianzbedingungen

5.4.2 Skalarwertige Funktionen

5.4.3 Vektorwertige Funktionen

5.4.4 Tensorwertige Funktionen

5.4.5 Zusammenfassung

5.5 Berücksichtigung von Anisotropien

Kapitel 6: Der Vektorraum

6.1 Einfache algebraische Systeme

6.1.1 Die Halbgruppe

6.1.2 Die Gruppe

6.1.3 Der Ring

6.1.4 Der Körper

6.2 Der (affine) Vektorraum

6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion

6.2.2 Lineare Operationen, lineare Kombination, lineare Unabhängigkeit

6.2.3 Basis und Dimension

6.2.4 Koordinaten

6.2.5 Transformationsgleichungen

6.3 Abbildungen

6.3.1 Allgemeine Abbildungen

6.3.2 Lineare Abbildungen

6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung

6.4 Dualität

6.4.1 Der Dualraum

6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation

6.4.3 Duale Basen

6.4.4 Transformationsgleichungen

6.5 Der (affine) Tensorraum

6.5.1 Die tensorielle Multiplikation

6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren

6.5.3 Transformationsgleichungen

6.6 Der euklidische Vektorraum

6.6.1 Die skalare Multiplikation

6.6.2 Die Metrik

6.6.3 Dualität

6.7 Der Punktraum

6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum

6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum

Literatur

Anhang A: Lösungen der Aufgaben

Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten

Sachwortregister